申请/专利权人：中山大学

申请日：2020-04-26

公开（公告）日：2024-03-22

公开（公告）号：CN111597649B

主分类号：G06F30/17

分类号：G06F30/17;G06F30/23;G06F119/14;G06F111/10

优先权：

专利状态码：有效-授权

法律状态：2024.03.22#授权;2020.09.22#实质审查的生效;2020.08.28#公开

摘要：本发明提供的一种基于稳定广义有限元的弹性裂缝问题模拟方法，改进传统GFEMXFEM的精度和条件数，使得裂缝问题的数值模拟更加精确和稳健，由于裂缝问题是结构分析技术的关键环节之一，因此本技术方案对工程力学中的结构分析领域有重要的促进作用。另外，本方法设计高度自动化和标准化，既可以嵌入到当前结构分析商业软件中，促进这些软件的升级，又可以作为工程软件自主开发的技术汇集。最后，本发明的技术方案是关键工程软件发展的步奏之一，算法创新性强，模拟精度高，软件架构清晰合理，可嵌入性、扩展性强，并行化程度高，具有很大的发展潜力和应用前景。

主权项：1.基于稳定广义有限元的弹性裂缝问题模拟方法，其特征在于，包括以下步骤：S1：根据裂缝问题GFEMXFEM构建具有集合富集策略的GFEMXFEM；S2：采用线性Heaviside函数对富集策略中的富集函数进行修正；S3：改变标准FEM的有限元PU函数，构造新型的SGFEM基本函数；S4：基于局部主成分分析技术对SGFEM基本函数进行处理，消除单个节点多个富集函数导致的冗余，得到SGFEM模型；S5：通过SGFEM模型对裂缝问题进行求解，完成裂缝问题的模拟；所述步骤S1过程具体为：区域Ω被剖分为拟正则三角形或四边形网格单元es，网格的尺寸参数用h表示，网格是简单的、和固定的，且与裂缝ΓO无关，{xi,yi：i∈Ih}记为网格节点集；令为标准的有限元函数，而是的支撑集；GFEMXFEM的主要思想是通过使用PU函数将有限元函数和表达真解性质的特殊函数耦合起来，达到高精度的逼近效果，这些特殊函数称为富集函数；裂缝问题GFEMXFEM的近似函数uh如下： 其中，IH为与裂缝相交的单元的节点集，但是要除去支撑集包含裂尖的节点，ai、bi、表示中间变量，Sj表示中间函数；Is为以裂尖为中心、半径为R的圆BO，R内部的节点集，这种GFEMXFEM被称为具有几何富集策略的GFEMXFEM；在式2中，函数 为Heaviside函数，用于模拟真解在裂缝处的不连续性，而 称为裂尖加强函数；其中，R是富集范围的半径；r、θ是极坐标，数学表达式的中间变量；利用Heaviside函数H和裂尖加强函数完成GFEMXFEM的构建；所述步骤S2过程具体为：在式2中，采用线性Heaviside函数代替传统GFEMXFEM的Heaviside函数H，然后和修正如下： 其中，是有限元插值算子，对于一个连续函数F， 其中，参数v、均为数学表达式的中间变量；至此，得到基于修正后的富集函数，构建具有集合富集策略的GFEMXFEM；所述步骤S3具体为：将式2中的PU函数修改为高阶多项式PU函数，具体为，令：Q0＝1-ξ21+2ξ,Q1＝ξ23-2ξ,ξ∈[0,1]为一个一维参考单元[0,1]上的PU函数，根据PU函数得到二维参考单元[0，1]×[0，1]上的PU函数具体如下： 为了得到任一实际单元es上的PU函数，令x，y＝Fsξ，η为参考单元到es上的仿射变换，则es上的PU函数为： 将这些单元PU函数根据节点组装起来便得到所需的PU函数Qi，i∈Ih；基于修正后的富集函数和新的PU函数Qi，得到： 式4为新型的SGFEM基本函数表达式；所述步骤S4具体为：在式4中发现，有些节点富集多个函数，因此，用表示每个富集节点xi，yi的富集函数，则有： 显然对应于i∈IH，i∈Is，i∈IH∩Is；α分别等于3、4或7；每个节点的多个富集函数之间的线性相关性是刚度矩阵条件数很大的另一个来源，为此，提出一种局部主成分分析LPCA技术，以消除单个节点多个富集函数导致的冗余；因为弹性力学方程是向量值方程，对于任意i∈IH∪Is，表示Ei关于x-和y-方向的基函数如下： 对任意i∈IH∪Is，记为函数在内积 下的协方差矩阵；显然的，是总刚度矩阵A的一个α×α的子矩阵，基于协方差矩阵进行主成分分析PCA，得到α×α矩阵和其中：每列包含一个主要成分的系数，由各主成分所占的百分比组成；根据PCA性质，新的主成分函数为： 在公式5表示的内积下是正交的，并且根据确定各主成分的贡献，删除的主成分函数，λ为预设的参数，这里采用λ＝10-10；将LPCA视为求解线性系统的一个预处理算法，其具体实现过程为：基于富集函数整合刚度矩阵A和载荷向量b，对于任意节点xi，yi，i∈IH∪Is排列多重富集函数的下标为Ji，…，Ji+α-1，并从A中提取子矩阵为： 对于每个xi，yi，i∈IH∪Is，基于执行PCA获得和并更新刚度矩阵A和载荷向量b为： 对于每个xi，yi，i∈IH∪Is，如果更新刚度矩阵A和载荷向量b为：AJi+j-1，：＝0，A：，Ji+j-1＝0，AJi+j-1，Ji+j-1＝1，bJi+j-1，：＝0对富集函数执行与上述相同的过程，对刚度矩阵A和载荷向量b进行更新，获得LPCA之后的新的刚度矩阵A和载荷向量b，从而得到SGFEM模型；所述步骤S5中通过SGFEM模型对裂缝问题进行求解，是对线性方程组进行求解，具体为：将线性方程组尺度化：令Eii＝Aii-12得到一个对角矩阵E，刚度矩阵A和载荷向量b尺度化后得到EAE、Eb；求解尺度化后线性方程组：EAEu＝Eb6逆预处理：对于尺度化后得到的解向量u进行逆尺度化得到u＝Eu；同时，还需对u根据LPCA预处理过程进行逆预处理：基于富集函数整合解向量u，对于任意节点xi，yi，i∈IH∪Is，排列多重富集函数的下标为Ji，...，Ji+α-1，并从A中提取子矩阵为： 对于每个xi，yi，i∈IH∪Is，基于执行PCA获得和若更新和解向量u为： 对于每个xi，yi，i∈IH∪Is，更新解向量u为： 对富集函数执行与上述相同的过程，获得逆LPCA之后的新的解向量u；从而对裂缝问题进行求解，完成裂缝问题的模拟。

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百度查询： 中山大学 基于稳定广义有限元的弹性裂缝问题模拟方法

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