申请/专利权人：合肥工业大学

申请日：2023-12-26

公开（公告）日：2024-03-26

公开（公告）号：CN117763999A

主分类号：G06F30/28

分类号：G06F30/28;G06F30/10;G06F113/08;G06F119/08

优先权：

专利状态码：在审-实质审查的生效

法律状态：2024.04.12#实质审查的生效;2024.03.26#公开

摘要：本发明公开了一种基于奇性渐近展开和等几何边界元的热流强度因子计算方法，包括：1将各向同性的V形切口板分为含切口尖端的扇形结构和剩余结构两部分；2对含切口尖端的扇形结构进行奇性渐近展开分析；3对剩余结构进行等几何边界元分析；4联立奇性渐近展开分析和等几何边界元分析建立系统方程组求解热流强度因子。本发明能精确描述切口尖端的热流奇异状态，可用更少的单元准确地模拟复杂边界，就能精确计算各向同性的V形切口板的热流强度因子，从而能在降低计算量的同时，提高计算效率。

主权项：1.一种基于奇性渐近展开和等几何边界元的热流强度因子计算方法，是用于计算各向同性的V形切口板Ω的热流强度因子，其特征在于，所述热流强度因子计算方法是按如下步骤进行：步骤一、对各向同性的V形切口板Ω进行单元离散；V形切口板Ω的切口开口角度记为α；以切口尖端为原点O，以水平向右为x1轴正方向，以铅垂向上为x2轴正方向，构建Ox1x2坐标系；以原点O为圆心，在V形切口板Ω的切口尖端划分一个半径为R、角度为α的扇形结构，从而将V形切口板Ω分为含切口尖端的扇形结构Ω1及其剩余结构Ω2；所述扇形结构Ω1的圆弧边界为Γ1，剩余结构Ω2的边界为Γ2，其中，Γ2包括Ω划分扇形结构Ω1形成的圆弧边界Γ2Y以及非圆弧边界Γ2F；采用二次边界单元对Ω1的圆弧边界Γ1进行单元划分，得到N1个边界节点和M1Y个单元；采用二次边界单元对Ω2的圆弧边界Γ2Y进行单元划分，得到N1个边界节点和M2Y个单元，其中，M2Y＝M1Y；采用二次边界单元对Ω2的非圆弧边界Γ2F进行单元划分，得到N2个边界节点和M2F个单元；Ω2的边界Γ2上总的边界节点数为N＝N1+N2、总的单元数为M2＝M2Y+M2F；步骤二、对含切口尖端的扇形结构Ω1进行奇性渐近展开分析；利用式1.a和式1.b构建扇形结构Ω1的圆弧边界Γ1上任意边界节点P的温度uP和热流qP的奇性渐近展开式： 式1.a和式1.b中，L为奇性渐近展开式截取的级数项数；θP为原点O与边界节点P的连线和x1轴正方向的夹角，且所述夹角以逆时针为正向；λk为切口的第k阶热流奇性指数；为第k阶温度特征角函数在θP处的取值；Ak为第k阶热流强度因子；利用式2.a和式2.b，得到扇形结构Ω1的圆弧边界Γ1上N1个边界节点的温度和热流的奇性渐近展开式：UA＝[D1D2…Dk…DL]{A1A2…Ak…AL}T＝DA2.aQA＝[E1E2…Ek…EL]{A1A2…Ak…AL}T＝EA2.b式2.a中，UA是扇形结构Ω1的圆弧边界Γ1上N1个边界节点的温度组成的列向量，Dk是Γ1上各点温度的第k阶热流强度因子Ak对应的系数组成的列向量，DL是Γ1上各点温度的第L阶热流强度因子AL对应的系数组成的列向量，D是由列向量D1、D2、…、Dk、…、DL组成的矩阵；式2.b中，QA是扇形结构Ω1的圆弧边界Γ1上N1个边界节点的热流组成的列向量，Ek是Γ1上各点热流的第k阶热流强度因子Ak对应的系数组成的列向量，EL是Γ1上各点热流的第L阶热流强度因子AL对应的系数组成的列向量，E是由列向量E1、E2、…、Ek、…、EL组成的矩阵；式2.a和式2.b中，A是各阶热流强度因子A1、A2、…、Ak、…、AL组成的列向量；步骤三、对剩余结构Ω2进行等几何边界元分析；步骤3.1、将边界节点和控制点的温度和热流进行转换；步骤3.1.1、设置控制点和权系数；设置Ω2的圆弧边界Γ2Y上每个单元的首、末控制点与每个单元的首、末边界节点重合，每个单元的中间控制点为每个单元首、末边界节点处圆弧边界切线的交点；设置Ω2的非圆弧边界Γ2F上每个单元的控制点与每个单元的边界节点重合；设置单调不减实数序列Ξ＝{ξ1,ξ2,...,ξm,…,ξs}，其中，ξm表示第m个元素，s＝2M2+4为元素的总个数；Ξ中的实数取值规则为：ξ1＝0，ξs＝M2，当m≠1且m≠s时，其中，表示向下取整；设置Ω2的圆弧边界Γ2Y上每个单元的中间控制点的权系数为设置其他任意一个控制点的权系数为1；步骤3.1.2、利用式3得到Ω2上第m′个边界节点对应的配置参数ηm′： 式3中，ξm′+i是Ξ中的第m′+i个元素；定义一个在区间[0,M2]上取值的积分参数ζ，积分参数的每个取值对应剩余结构Ω2的边界Γ2上唯一一个边界节点；利用式4得到Ω2的第j个单元上任意一个积分参数的自然坐标 式4中，η2j-1为第j个单元上首边界节点对应的配置参数的值，η2j+1-1为第j个单元末边界节点对应的配置参数的值；步骤3.1.3、通过式5.a和式5.b对所有控制点的温度和热流进行插值，得到积分参数ζ对应的一个边界节点的温度uζ和热流qζ： 式5.a和式5.b中，ui是第i个控制点的温度；qi是第i个控制点的热流；Ri,pζ是积分参数ζ的第i个p次非均匀有理B样条插值基函数的函数值，并由式6得到： 式6中，p为单元的阶次，ωi为第i个控制点对应的权系数，ωj为第j个控制点对应的权系数；Nj,pζ为积分参数ζ的第j个p次B样条插值基函数的函数值，Ni,pζ为积分参数ζ的第i个p次B样条插值基函数的函数值，Ni,pζ由式7.a和式7.b递推得到： 式7.a和式7.b中，t是最大值为p的正整数，ξi表示Ξ中的第i个元素，ξi+1表示Ξ中的第i+1个元素，ξi+t表示Ξ中的第i+t个元素，ξi+t+1表示Ξ中的第i+t+1个元素，Ni,0ζ为积分参数ζ的第i个0次B样条插值基函数的函数值，Ni,tζ为积分参数ζ的第i个t次B样条插值基函数的函数值，Ni,t-1ζ为积分参数ζ的第i个t-1次B样条插值基函数的函数值，Ni+1,t-1ζ为积分参数ζ的第i+1个t-1次B样条插值基函数的函数值；式7.b中，当分母为0时，分子式也为0；步骤3.1.4、通过边界节点的温度和热流计算控制点的温度和热流；利用式5.a和式5.b，将剩余结构Ω2上各边界节点的温度和热流分别用对应控制点的温度和热流表示，从而得到式8.a和式8.b： 式8.a中，UBY是剩余结构Ω2的圆弧边界Γ2Y上各边界节点的温度组成的列向量，UBF是剩余结构Ω2的非圆弧边界Γ2F上各边界节点的温度组成的列向量；UCY是剩余结构Ω2的圆弧边界Γ2Y上各控制点的温度组成的列向量，UCF是剩余结构Ω2的非圆弧边界Γ2F上各控制点的温度组成的列向量；式8.b中，QBY是剩余结构Ω2的圆弧边界Γ2Y上各边界节点的热流组成的列向量，QBF是剩余结构Ω2的非圆弧边界Γ2F上各边界节点的热流组成的列向量；QCY是剩余结构Ω2的圆弧边界Γ2Y上各控制点的热流组成的列向量，QCF是剩余结构Ω2的非圆弧边界Γ2F上各控制点的热流组成的列向量；式8.a和式8.b中，CYY表示Ω2的圆弧边界Γ2Y上各边界节点与圆弧边界Γ2Y上各控制点的转换矩阵，CYF表示Ω2的圆弧边界Γ2Y上各边界节点与非圆弧边界Γ2F上各控制点的转换矩阵，CFY表示Ω2的非圆弧边界Γ2F上各边界节点与圆弧边界Γ2Y上各控制点的转换矩阵，CFF表示Ω2的非圆弧边界Γ2F上各边界节点与非圆弧边界Γ2F上各控制点的转换矩阵，并分别由式9.a、式9.b、式9.c、式9.d得到： 式9.a、式9.b、式9.c和式9.d中，是第I1个边界节点对应的配置参数，是第N1个边界节点对应的配置参数，是第N1+I2个边界节点对应的配置参数，是第N个边界节点对应的配置参数；式9.a中，是剩余结构Ω2的圆弧边界Γ2Y上的第I1个边界节点对应的配置参数的第I1个p次非均匀有理B样条插值基函数的函数值，是Γ2Y上的第N1个边界节点对应的配置参数的第N1个p次非均匀有理B样条插值基函数的函数值；式9.b中，是剩余结构Ω2的圆弧边界Γ2Y上的第I1个边界节点对应的配置参数的第N1+I2个p次非均匀有理B样条插值基函数的函数值，是Γ2Y上的第N1个边界节点对应的配置参数的第N个p次非均匀有理B样条插值基函数的函数值；式9.c中，是剩余结构Ω2的非圆弧边界Γ2F上的第I2个边界节点对应的配置参数的第I1个p次非均匀有理B样条插值基函数的函数值，是Γ2F上的第N2个边界节点对应的配置参数的第N1个p次非均匀有理B样条插值基函数的函数值；式9.d中，是剩余结构Ω2的非圆弧边界Γ2F上的第I2个边界节点对应的配置参数的第N1+I2个p次非均匀有理B样条插值基函数的函数值，是Γ2F上的第N2个边界节点对应的配置参数的第N个p次非均匀有理B样条插值基函数的函数值；由式9.b和式9.c计算得到CYF与CFY均为零矩阵，从而将式8.a和式8.b改写为式10.a和式10.b： 式10.a和式10.b中，0YF表示维度与CYF相同的零矩阵，0FY表示维度与CFY相同的零矩阵；利用式11.a和式11.b得到Ω2上控制点的温度和热流： 式11.a和式11.b中，是CYY的逆矩阵，是CFF的逆矩阵；利用式12.a和式12.b得到剩余结构Ω2的圆弧形边界Γ2Y上各边界节点的温度UBY和热流QBY：UBY＝UA＝DA12.aQBY＝-QA＝-EA12.b利用式13.a和式13.b得到剩余结构Ω2的圆弧形边界Γ2Y上各控制点的温度UCY和热流QCY： 步骤3.2、在剩余结构Ω2上建立等几何边界积分方程；分别利用式14.a和式14.b得到边界积分方程的温度和热流基本解： 式14.a和式14.b中，x为任意一个场点，x1x是场点x的x1坐标，x2x是场点x的x2坐标；y为任意一个源点，x1y是源点y的x1坐标，x2y是源点y的x2坐标；π为圆周率，r为源点y到场点x的距离，n1为场点x处边界的外法线在x1方向的方向余弦值，n2为场点x处边界的外法线在x2方向的方向余弦值；根据式14.a和式14.b，利用式15建立源点y处的等几何边界积分方程： 式15中，Cy为源点y处的奇性系数，且其中，为源点y处前、后边界切线的夹角；表示包含源点y的单元的单元号，e表示包含场点x的单元的单元号；ζx为场点x对应的积分参数，ζy为源点y对应的积分参数；为积分参数ζx的自然坐标；R2e-1+l,pζx是第e个单元中第l个边界节点对应的第2e-1+l个p次非均匀有理B样条插值基函数在积分参数ζx处的函数值，是第个单元中第l个边界节点对应的第个p次非均匀有理B样条插值基函数在积分参数ζy处的函数值；ule和qle分别为第e个单元中第l个控制点的温度和热流，为的雅可比，并由式16得到： 步骤四、建立求解热流强度因子的系统方程组；步骤4.1、取剩余结构Ω2的非圆弧边界Γ2F上的各边界节点为源点，分别建立式15所示的等几何边界积分方程，以HFY表示UCY对应的非圆弧边界Γ2F上的温度系数矩阵，以HFF表示UCF对应的非圆弧边界Γ2F上的温度系数矩阵，以GFY表示QCY对应的非圆弧边界Γ2F上的热流系数矩阵，以GFF表示QCF对应的非圆弧边界Γ2F上的热流系数矩阵，从而得到式17： 将式13.a和式13.b引入式17，得到式18： 式18中，HFA表示A对应的非圆弧边界Γ2F上的温度系数矩阵，且GFA表示A对应的非圆弧边界Γ2F上的热流系数矩阵，且步骤4.2、在剩余结构Ω2的圆弧边界Γ2Y的非首、末边界节点中，任取L个边界节点分别作为源点并建立式15所示的等几何边界积分方程后，得到式19： 式19中，HYA表示A对应的圆弧边界Γ2Y上的温度系数矩阵，HYF表示UCF对应的圆弧边界Γ2Y上的温度系数矩阵，GYA表示A对应的圆弧边界Γ2Y上的热流系数矩阵，GYF表示QCF对应的圆弧边界Γ2Y上的热流系数矩阵；根据式18和式19，利用式20得到系统方程组： 步骤五、利用高斯消去法求解所述系统方程组，得到各向同性的V形切口板的热流强度因子向量A。

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